বৃত্ত-বৃত্তান্তের নতুন উপপাদ্য

আজ আমরা একটি উপপাদ্য শিখব, যা বিভিন্ন প্রতিযোগিতায় আসা একাধিক বৃত্তের ছেদকের প্রশ্নগুলো সমাধান করতে আমাদের সাহায্য করবে। এ ক্ষেত্রে আমরা প্রমাণের জন্য একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করব, যার নাম ‘ত্রিভুজে সাইনের সূত্র’। এই সূত্রমতে, যেকোনো ত্রিভুজের একটি বাহু a একক, একটি কোণ A ও পরিব্যাসার্ধ R হলে সম্পর্কটি হবে:

​​ a _ sin A ​​=2R

এবার চলো মূল উপপাদ্যে যাই,

উপপাদ্য: ‘যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র দ্বিতীয় বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত হয় এবং উক্ত বিন্দু ব্যতীত দ্বিতীয় বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত যেকোনো বিন্দু থেকে বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী রেখাদ্বয় প্রথম বৃত্তকে পুনরায় দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র, দ্বিতীয় বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত সেই অজানা বিন্দু এবং প্রাপ্ত নতুন বিন্দুদ্বয়সহ এ চারটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে, যার ব্যাসার্ধ দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।’

চলো, এবার এটা প্রমাণ করা যাক,

প্রমাণ: এখানে A, O, B, P বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত। অতএব এরা বৃত্তস্থ।

∴ ∠AOB+∠BPA=180°

⇒ ∠AOF+∠COF+∠BOC+∠BPA=180°………(i)

আবার, ∠OFP=∠OEP=90° হওয়ায় O, E, P, F বিন্দু চারটি বৃত্তস্থ

∴ ∠EOF+∠FPE=180°

⇒ ∠EOB+∠BOC+∠COF+∠BPA=180°………..(ii)

(i)-(ii) ⇒ ∠EOB=∠AOF

এখন সমকোণী ΔOFA ও সমকোণী ΔOBE–তে

OB=OA

∠EOB=∠AOF

⇒ ∴ ΔOFA ≅ ΔOBE

আবার সমকোণী ΔOEB ও সমকোণী ΔOED–তে

OB=OD

OE=OE ⇒ ΔOEB ≅ ΔOED

অনুরূপভাবে বলা যায়,

ΔOAF ≅ ΔOCF ≅ ΔOBE ≅ ΔODE

∴ ∠AOF = ∠COF = ∠BOE = ∠DOE

এখন,

∠EOF + ∠FPE = 180°

⇒ ∠EOF + ∠FPE + ∠EOD - ∠COF = 180°

⇒ ∠COD + ∠CPD=180°

∴ O, C, P, D একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত। অর্থাৎ আমাদের প্রমাণের অর্ধেক অংশ সম্পূর্ণ হয়েছে। চলো, এবার বাকি অর্ধেক বুঝি।

এখানে,

ΔOAF ≅ ΔODE হওয়ায়,

∠ODE = ∠OAF ⇒ ∠ODP = ∠OAP

এখন এই নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক ও দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ R একক হলে,

ΔODP–তে সাইন সূত্র অনুযায়ী,

​​ OP _ sin∠ODP ​​=2r

আবার, ΔOAP–তে সাইন সূত্র অনুযায়ী,

​​ OP _ sin∠OAP ​​= 2R

⇒​​ OP _ sin∠ODP ​​= 2R

⇒ 2r = 2R

⇒ r = R

অর্থাৎ উক্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ সর্বদা দ্বিতীয় বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান হবে। আমাদের প্রমাণ এখানে সম্পূর্ণ হলো। ওই সূত্র ব্যবহারের মাধ্যমে আমরা অনেক জটিল প্রশ্নের উত্তর সহজেই করতে পারব।

নতুন রূপে নতুন উদ্দীপনায় ফিরছে আমাদের প্রিয় গণিত ইশকুল। শিক্ষার্থীদের মধ্যে গণিতের আনন্দ ছড়িয়ে দিতে আপনার সব গাণিতিক চিন্তাভাবনা, লেখা বা সৃষ্টি পাঠিয়ে দিন আমাদের কাছে। email: gonitishkul@prothomalo.com

ফেসবুক লিংক: https://www.facebook.com/PA.GonitIshkul

সহযোগিতায়: বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটি